Adam: A Method for Stochastic Optimization

Diederik P. Kingma; Jimmy Ba

शोध पत्र · arXiv 1412.6980

Adam: A Method for Stochastic Optimization

Diederik P. Kingma, Jimmy Ba

प्रकाशित 2014-12-22cs.LG arXiv PDF

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तीन पंक्तियों में सारांश

🎯 स्टोकेस्टिक ग्रेडिएंट डिसेंट शोरगुल वाले ग्रेडिएंट्स, गैर-स्थिर उद्देश्यों और पैरामीटर्स में खराब स्थिति वाले कर्वेचर के साथ संघर्ष करता है।
🔧 आवश्यक इनिशियलाइज़ेशन बायस सुधारों के साथ, पिछले ग्रेडिएंट्स और पिछले चुकता ग्रेडिएंट्स के तेजी से क्षय होने वाले मूविंग एवरेज का उपयोग करके व्यक्तिगत एडेप्टिव लर्निंग रेट्स की गणना करता है।
📈 कॉन्वेक्स ऑनलाइन सेटिंग्स के लिए $O (1/ T)$ रिग्रेट बाउंड सिद्ध करता है और डीप लर्निंग बेंचमार्क पर मोमेंटम के साथ SGD, AdaGrad और RMSProp से बेहतर प्रदर्शन करता है।

सार

हम Adam प्रस्तुत करते हैं, जो निचले क्रम के मोमेंट्स के एडेप्टिव अनुमानों पर आधारित स्टोकेस्टिक ऑब्जेक्टिव फंक्शन्स के प्रथम-क्रम ग्रेडिएंट-आधारित ऑप्टिमाइज़ेशन के लिए एक एल्गोरिदम है। यह विधि लागू करने में सीधी है, कम्प्यूटेशनल रूप से कुशल है, इसमें मेमोरी की कम आवश्यकता होती है, यह ग्रेडिएंट्स के डायगोनल रिस्केलिंग के प्रति इनवेरिएंट है, और डेटा व/या पैरामीटर्स के संदर्भ में बड़ी समस्याओं के लिए अत्यधिक उपयुक्त है। यह विधि गैर-स्थिर (non-stationary) उद्देश्यों और अत्यधिक शोरगुल वाले व/या विरल (sparse) ग्रेडिएंट्स वाली समस्याओं के लिए भी उपयुक्त है। इसके हाइपर-पैरामीटर्स की व्याख्या सहज है और आमतौर पर इनमें बहुत कम ट्यूनिंग की आवश्यकता होती है। संबंधित एल्गोरिदम के साथ कुछ संबंधों पर चर्चा की गई है, जिनसे Adam प्रेरित हुआ था। हम एल्गोरिदम के सैद्धांतिक कन्वर्जेंस गुणों का भी विश्लेषण करते हैं और कन्वर्जेंस दर पर एक रिग्रेट बाउंड प्रदान करते हैं जो ऑनलाइन कॉन्वेक्स ऑप्टिमाइज़ेशन फ्रेमवर्क के तहत सर्वश्रेष्ठ ज्ञात परिणामों के तुलनीय है। अनुभवजन्य परिणाम दर्शाते हैं कि Adam व्यावहारिक रूप से बहुत अच्छा काम करता है और अन्य स्टोकेस्टिक ऑप्टिमाइज़ेशन विधियों की तुलना में बेहतर साबित होता है। अंत में, हम इनफिनिटी नॉर्म पर आधारित Adam के एक प्रकार, AdaMax पर चर्चा करते हैं।

मूल सार (अंग्रेज़ी)

We introduce Adam, an algorithm for first-order gradient-based optimization of stochastic objective functions, based on adaptive estimates of lower-order moments. The method is straightforward to implement, is computationally efficient, has little memory requirements, is invariant to diagonal rescaling of the gradients, and is well suited for problems that are large in terms of data and/or parameters. The method is also appropriate for non-stationary objectives and problems with very noisy and/or sparse gradients. The hyper-parameters have intuitive interpretations and typically require little tuning. Some connections to related algorithms, on which Adam was inspired, are discussed. We also analyze the theoretical convergence properties of the algorithm and provide a regret bound on the convergence rate that is comparable to the best known results under the online convex optimization framework. Empirical results demonstrate that Adam works well in practice and compares favorably to other stochastic optimization methods. Finally, we discuss AdaMax, a variant of Adam based on the infinity norm.

पढ़ने की गाइड

समस्या और प्रेरणा

स्टोकेस्टिक प्रथम-क्रम ऑप्टिमाइज़ेशन आधुनिक मशीन लर्निंग की रीढ़ है। हालाँकि, मानक Stochastic Gradient Descent (SGD) सभी निर्देशांकों (coordinates) पर एक समान स्टेप साइज लागू करता है, जिससे यह ग्रेडिएंट स्केलिंग, खराब स्थिति वाले कर्वेचर और स्टोकेस्टिक शोर के प्रति संवेदनशील हो जाता है। यद्यपि AdaGrad ऐतिहासिक चुकता ग्रेडिएंट्स का उपयोग करके निर्देशांक स्टेप साइज को अनुकूलित करता है, लेकिन डीप आर्किटेक्चर में इसकी लर्निंग रेट तेजी से घटकर शून्य हो जाती है। RMSProp और AdaDelta इस क्षय को एक्सपोनेंशियल मूविंग एवरेज के साथ संबोधित करते हैं, लेकिन RMSProp में गैर-स्थिर सेटिंग्स में सैद्धांतिक गारंटी का अभाव है और जब मूविंग एवरेज शून्य से शुरू होते हैं तो दोनों में से कोई भी इनिशियलाइज़ेशन बायस को ध्यान में नहीं रखता है।

लेखकों का उद्देश्य दो प्रतिमानों के लाभों को जोड़ना है: AdaGrad/RMSProp (विरल और अलग-अलग स्केल किए गए ग्रेडिएंट्स के अनुकूल होना) और क्लासिकल Momentum (सपाट दिशाओं में कन्वर्जेंस को तेज करना और शोर को सुचारू करना)।

मुख्य विचार

प्रथम और द्वितीय मोमेंट अनुमान: Adam ग्रेडिएंट (प्रथम रॉ मोमेंट $m_{t}$ ) और चुकता ग्रेडिएंट (द्वितीय अनसेंटर्ड मोमेंट $v_{t}$ ) दोनों के रनिंग एक्सपोनेंशियल मूविंग एवरेज को बनाए रखता है।
बायस सुधार (Bias Correction): चूँकि $m_{t}$ और $v_{t}$ को शून्य के वैक्टर के रूप में इनिशियलाइज़ किया जाता है, इसलिए उनके मानक रनिंग एवरेज शून्य की ओर बायस्ड होते हैं—विशेषकर शुरुआती पुनरावृत्तियों में या जब क्षय दरें ( $β_{1}, β_{2}$ ) 1 के करीब होती हैं। Adam विश्लेषणात्मक रूप से $(1 - β_{1}^{t})$ और $(1 - β_{2}^{t})$ से विभाजित करके इस बायस को सही करता है।
ग्रेडिएंट रिस्केलिंग के प्रति इनवेरिएंट: प्रभावी अपडेट दिशा लगभग सिग्नल-टू-नॉइज़ अनुपात $\overset{m}{^}_{t} / \overset{v}{^}_{t}$ के साथ स्केल करती है, जो प्राकृतिक स्टेप-साइज बाउंडिंग और ग्रेडिएंट्स के डायगोनल स्केलिंग के प्रति इनवेरिएंस प्रदान करती है।
AdaMax: $v_{t}$ में ग्रेडिएंट्स के $L_{2}$ नॉर्म ट्रैकिंग को $L_{\infty}$ नॉर्म में सामान्यीकृत करने पर AdaMax प्राप्त होता है, जो एक संख्यात्मक रूप से स्थिर संस्करण है और द्वितीय-मोमेंट बायस सुधार की आवश्यकता को समाप्त करता है।

विधि (मुख्य समीकरणों के साथ)

समय चरण $t$ पर, दिए गए ऑब्जेक्टिव फंक्शन $f_{t} (θ)$ , ग्रेडिएंट $g_{t} = \nabla_{θ} f_{t} (θ_{t - 1})$ , स्टेप साइज $α$ , एक्सपोनेंशियल क्षय दरें $β_{1}, β_{2} \in [0, 1)$ , और छोटा स्थिरांक $ϵ$ :

बायस्ड प्रथम मोमेंट अनुमान अपडेट करें: $m_{t} = β_{1} m_{t - 1} + (1 - β_{1}) g_{t}$
बायस्ड द्वितीय रॉ मोमेंट अनुमान अपडेट करें: $v_{t} = β_{2} v_{t - 1} + (1 - β_{2}) g_{t}^{2}$
बायस-करेक्टेड मोमेंट अनुमानों की गणना करें: $\overset{m}{^}_{t} = \frac{m _{t}}{1 - β _{1}^{t}}$ $\overset{v}{^}_{t} = \frac{v _{t}}{1 - β _{2}^{t}}$
पैरामीटर्स अपडेट करें: $θ_{t} = θ_{t - 1} - α \frac{m ^ _{t}}{v ^ _{t} + ϵ}$

शोध पत्र द्वारा अनुशंसित डिफ़ॉल्ट हाइपरपैरामीटर $α = 0.001$ , $β_{1} = 0.9$ , $β_{2} = 0.999$ , और $ϵ = 1 0^{- 8}$ हैं।

परिणाम (सबसे महत्वपूर्ण आंकड़ों के साथ)

सैद्धांतिक कन्वर्जेंस: बाउंडेड ग्रेडिएंट्स और बाउंडेड पैरामीटर डोमेन $D$ के साथ एक ऑनलाइन कॉन्वेक्स ऑप्टिमाइज़ेशन फ्रेमवर्क में, Adam एक सैद्धांतिक रिग्रेट बाउंड $R (T) = \sum_{t = 1}^{T} (f_{t} (θ_{t}) - f_{t} (θ^{*})) = O (T)$ प्राप्त करता है, जिससे $O (1/ T)$ की औसत रिग्रेट दर प्राप्त होती है।
लॉजिस्टिक रिग्रेशन और मल्टी-लेयर परसेप्ट्रॉन: MNIST वर्गीकरण पर, विभिन्न आर्किटेक्चरों में Adam ने AdaGrad, RMSProp, और नेस्टरोव मोमेंटम के साथ SGD की तुलना में तेजी से कन्वर्ज किया, जिससे हाइपरपैरामीटर बदलावों के प्रति न्यूनतम संवेदनशीलता प्रदर्शित हुई।
कनवल्शनल न्यूरल नेटवर्क: CIFAR-10 पर एक मल्टी-लेयर CNN (ड्रॉपआउट और पूलिंग के साथ) का मूल्यांकन करने पर, Adam ने तेजी से ट्रेनिंग लॉस में कमी प्रदर्शित की और RMSProp तथा AdaDelta की तुलना में कम अंतिम लॉस प्राप्त किया।

सीमाएं और खुले प्रश्न

कॉन्वेक्स बनाम नॉन-कॉन्वेक्स सिद्धांत: सैद्धांतिक रिग्रेट बाउंड्स कॉन्वेक्स फ़ंक्शंस को मानकर चलते हैं; गैर-कॉन्वेक्स डीप लर्निंग उद्देश्यों पर सैद्धांतिक कन्वर्जेंस व्यवहार की औपचारिक रूप से गारंटी नहीं दी गई थी।
बाद की सैद्धांतिक खामियां: बाद के कार्यों (जैसे कि Reddi et al., 2018) ने साबित किया कि Adam के कन्वर्जेंस प्रमाण में एक समस्या थी जहाँ $Γ_{t + 1} - Γ_{t}$ आवश्यक रूप से पॉजिटिव सेमी-डेफिनिट नहीं है, जो कभी-कभी अनुभवजन्य डाइवर्जेंस का कारण बनता है (जिसने AMSGrad जैसे वेरिएंट्स को जन्म दिया)।
जनरलाइज़ेशन अंतर (Generalization Gap): इस पत्र के बाद के अनुभवजन्य अध्ययनों ने उल्लेख किया कि यद्यपि Adam शुरुआत में तेजी से ट्रेन करता है, लेकिन मोमेंटम के साथ सावधानीपूर्वक ट्यून किया गया SGD अक्सर ऐसे समाधान ढूंढता है जो कुछ इमेज वर्गीकरण कार्यों पर थोड़ा बेहतर जनरलाइज़ करते हैं।

मुख्य शब्द

Adam: 'Adaptive moment estimation' से प्राप्त प्रथम-क्रम ग्रेडिएंट-आधारित स्टोकेस्टिक ऑप्टिमाइज़ेशन के लिए एक एल्गोरिदम।
First Moment Vector: पिछले स्टोकेस्टिक ग्रेडिएंट्स का एक्सपोनेंशियल रूप से घटता हुआ मूविंग एवरेज, जो अनुमानित औसत दिशा का प्रतिनिधित्व करता है।
Second Raw Moment Vector: पिछले एलिमेंट-वाइज़ चुकता स्टोकेस्टिक ग्रेडिएंट्स का एक्सपोनेंशियल रूप से घटता हुआ मूविंग एवरेज, जो अनसेंटर्ड वेरिएंस को ट्रैक करता है।
Bias Correction: शुरुआती ऑप्टिमाइज़ेशन चरणों के दौरान शून्य की ओर इनिशियलाइज़ेशन बायस का मुकाबला करने के लिए मूविंग एवरेज को $1/ (1 - β^{t})$ द्वारा रिस्केल करना।
Signal-to-Noise Ratio (SNR): अनुपात $\overset{m}{^}_{t} / \overset{v}{^}_{t}$ , जो उच्च अनिश्चितता वाले आयामों के साथ स्टेप साइज को छोटा करता है और आश्वस्त आयामों के साथ उन्हें बढ़ाता है।
AdaMax: Adam का एक संस्करण जहाँ $L_{2}$ -नॉर्म-आधारित द्वितीय मोमेंट अनुमान को $L_{\infty}$ नॉर्म में सामान्यीकृत किया जाता है।
Regret Bound: एक सैद्धांतिक मीट्रिक जो एल्गोरिदम के संचयी लॉस और सर्वश्रेष्ठ निश्चित पैरामीटर के बीच के अंतर को मापता है।

प्रश्न

Adam में बायस सुधार क्यों आवश्यक है?

चूँकि $m_{0}$ और $v_{0}$ को शून्य वैक्टर के रूप में इनिशियलाइज़ किया जाता है, इसलिए मूविंग एवरेज शुरुआती पुनरावृत्तियों में भारी रूप से शून्य की ओर बायस्ड होते हैं (विशेषकर जब $β_{1}$ और $β_{2}$ 1 के करीब होते हैं)। $(1 - β_{1}^{t})$ और $(1 - β_{2}^{t})$ द्वारा विभाजन एस्टीमेटर के अपेक्षित मान को वास्तविक मोमेंट से मिलाने के लिए सही करता है।

Adam के लिए अनुशंसित डिफ़ॉल्ट हाइपरपैरामीटर क्या हैं?

लेखक लर्निंग रेट $α = 0.001$ , प्रथम-मोमेंट क्षय $β_{1} = 0.9$ , द्वितीय-मोमेंट क्षय $β_{2} = 0.999$ , और संख्यात्मक स्थिरता स्थिरांक $ϵ = 1 0^{- 8}$ की अनुशंसा करते हैं।

Adam, RMSProp से किस प्रकार भिन्न है?

RMSProp चुकता ग्रेडिएंट्स के एक्सपोनेंशियल मूविंग एवरेज का उपयोग करता है लेकिन प्रथम मोमेंट्स (मोमेंटम) के मूविंग एवरेज को छोड़ देता है और इनिशियलाइज़ेशन बायस सुधार नहीं करता है।

AdaMax क्या है?

AdaMax, Adam के $L_{2}$ नॉर्म सेकंड मोमेंट ट्रैकिंग को $L_{\infty}$ नॉर्म में सामान्यीकृत करता है, जिसमें चुकता ग्रेडिएंट्स के रनिंग सम को एब्सोल्यूट ग्रेडिएंट्स के रनिंग मैक्सिमम से बदल दिया जाता है, जिससे सेकंड-मोमेंट बायस सुधार की आवश्यकता समाप्त हो जाती है।

इस पृष्ठ की व्याख्या AI ने शोध पत्र से लिखी है और इसमें गलतियाँ हो सकती हैं। विवरण के लिए मूल शोध पत्र पढ़ें।

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